『ビッグクエスチョンズ』は、人類の歴史を通して、探究心旺盛な人々を悩ませてきた科学や哲学の大疑問に対し、一流の専門家が回答するシリーズです。「親しみやすく簡潔に」という編集方針により、その分野を概観しつつ、最新の知見を身につけることができます。
数学の『ビッグクエスチョン』の種類は多岐にわたり、技術の変革に端を発するものがある一方で、古代から現代まで続いているものもあります。
そうした問いの中には、答えが見つかって新たな問いに置き換えられるものがある一方で、数世紀を経てもなお、解決されることなく残っているものも多くあります。
この本で取り上げる『ビッグクエスチョン』は、重要であり、なおかつ取り組むべき基本的な問いが中心となっています。その問いを通じて、どこで数学がはじまり、どのような道を歩み、そして今後どこへ向かうのかを辿ることもできます。
『ビッグクエスチョン』は、数学者を興奮させる問題を提示すると同時に、数学がどのようにこの世界についての情報を与えてくれるかも教えてくれます。そして何より、数学が生きた分野であることを実感させてくれます。
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理論と実践の関係
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数とその性質
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幾何学、代数、そして数学革命
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新しい未知の数学
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「かぞえる」の始まり
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バビロニア人とエジプト人の数の体系
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古代インド人の計算方法
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「0」の発見
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十二進法と二十進法
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十進法
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二進法
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八進法からその先へ
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数のたどった道
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素数とはなんだろうか？
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素数の性質
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素数の判定法
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最大の素数は何か？
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特別な素数
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素数の分布
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規則性の探究
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素数の重要性
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整数から分数へ
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分数とピタゴラス学派
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分数から無理数へ
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無理数から超越数へ
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小数
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連分数は数のDNAだ
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広がりゆく数の地平
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二次方程式と虚数「
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複素数
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複素数から四元数へ
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四元数から八元数へ
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クリフォード代数
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想像から実用へ
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「上限のない」世界
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集合論
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集合の関係性
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「ヒルベルトホテル」の部屋数は無限
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リストを作る
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リストにできない集合
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無限の大きさと連続体仮説
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たくさんの無限
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平行線公準の謎
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証明を求めて
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「あらゆる欠点が除かれた」ユークリッド
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「1本の平行線」から「複数の平行線」へ
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「1本の平行線」から「0本の平行線」へ
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幾何学のアラカルト
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宇宙の幾何学
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流れで表す世界
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変化を測る
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加速を考える
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積分
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微分法と積分法の関係と「極限」
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微積分法と最適化問題
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自然を表す方程式から数学的モデルへ
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ナイチンゲールの円グラフ
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平均の原理
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サンプル抽出
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釣鐘曲線
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統計の科学
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統計が証明できること
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カードやサイコロを使ったゲーム
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宝くじの興奮
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モンティ・ホール問題
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ポーカープレーヤーと「カードカウンティング」
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理論の登場
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確率論の可能性と限界
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便利な公式
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美しい公式
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四色問題
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方程式と解の公式
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さまざまな物理公式
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魔法の公式は存在するのか？
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高次元への旅
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二次元の世界「フラットランド」
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カントールの驚き
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曲線と「怪物」曲線
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フラクタルとマンデルブロ集合
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初期値のわずかな違いが引き起こすこと
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ポアンカレとカオスの始まり
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ストレンジアトラクタ
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人口問題とカオスの原理
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カオスの爆発
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サイファー
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暗号の鍵
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機械と数学者
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公開鍵
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量子の暗号解読者
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音楽と数学
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美と図形
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黄金長方形と黄金比
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テセレーションと幾何学
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数の美しさ
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発明の美
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モデル化
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人口学のモデル
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予測とその限界
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ゲームの教訓
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ゲーム理論と核の瀬戸際外交
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使用上の注意
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正しくつなぐ
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木と根
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絡み合った問題
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不動点と毛だらけの球
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多様体とメビウスの輪
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単連結とポアンカレ予想
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宇宙の形
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回転対称と鏡映対称
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対称性を測る
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群と対称性
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ミラー対称性
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双対性という対称性
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素粒子の世界の対称性
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多様な対称性
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真理の追究者
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真理の創造者
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新しい方向性
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形式主義者
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直観主義者と不完全性定理
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数学的真理はあるのか？
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ゴールドバッハ予想
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リーマン予想
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ナビエ・ストークス方程式
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P＝NPか？
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数学の未来
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